Exercícios resolvidos sobre problemas de equação do segundo grau

 01) Determine m para que a equação x² + (2m + 3)x + (m + 3 )² = 0 possua duas raízes reais distintas.

Resolução:    Δ > 0

Δ = ( 2m + 3)²- 4.1( m + 3 )²

Δ = 4m² + 12m + 9 - 4.(m² + 6m + 9)

Δ = 4m² + 12m + 9 - 4m² - 24m - 36

Δ = - 12m - 27

- 12m - 27 > 0 (-1)

12m + 27 < 0

12m < -27

m < -27/12

m < - 9/4

S = { m ϵ IR |m < -9/4 } 

02) Determine os valores de m para que a equação - x² + (m - 1)x  -25 = 0 não possua duas raízes iguais.

Resolução: Δ > 0

Δ = ( m - 1)² - 4.(-1).(-25)

Δ = m² - 2m + 1 - 100

Δ = m² -2m - 99

m² - 2m - 99 = 0

Δ = (-2)² - 4.1 (-99)

Δ = 4 + 396

Δ= 400

m ≠ (2+-20)/-2

m' ≠ 22/-2                    m" ≠ -18/-2

m' ≠ -11                       m" ≠ 9

S = { m ϵ IR |m ≠ -11 ou m ≠ 9} 

03) Determine os valores de m para que a equação x² + ( m + 1 ) + 4 = 0 possua raízes reais e iguais.

Resolução: Δ < 0

Δ = ( m + 1)² - 4. 1 .4

Δ =  m² + 2m + 1 - 16

Δ =  m² + 2m -15

m² + 2m - 15 = 0

Δ = 4 + 60

Δ =  64

m = (-2 +-8)2

m' = 6/2

m' = 3

m" = -10/2 

m" = -5

S = { m ϵ IR |m = -5 ou  m = 3 } 

04) Determine os valores de m para que a equação mx² + (4m - 1)x + 3 + 4m não possua raízes reais.

Resolução: Δ < 0

Δ = ( 4m - 1)² - 4. m.( 3 + 4m )

Δ =  16 m²  - 8m + 1 - 12m - 16m²

Δ =  - 20m + 1

- 20m + 1 < 0

-20m < -1 (-1)

20m > 1

m > 1/20

S = { m ϵ IR |m > 1/20} 

05) Calcule k, de modo que a equação x² + (2k - 3 ) + ( k - 1 )² = 0 possua raízes reais distintas.

Resolução: Δ > 0

Δ = ( 2k - 3)² - 4. 1.( k - 1)²

Δ =  4k² - 12k + 9 - 4.( k² - 2k + 1 )

Δ =  4k² - 12k + 9 - 4k² + 8k - 4

Δ = - 4k + 5 

- 4k + 5 > 0

-4k > -5 (-1)

4k < 5

k < 5/4

S = { k ϵ IR |k 5/4} 

06) Determine m, de modo que a equação mx² + 2mx + (m  - 2) = 0 possua raízes reais. 

Resolução: Δ > 0

Δ =  (2m)² - 4. m. ( m - 2)

Δ =  4m² - 4m² + 8m

Δ =  8m

8m > 0

m > 0/8

m > 0

S = { m ϵ IR |m > 0}