Problemas de sistemas de duas equações do 2º grau resolvidos

 01) Construí um retângulo dobrando um arame de 6 metros de comprimento. Esse retângulo ficou com uma área de 2m². Quais são as dimensões do retângulo que formei com esse pedaço de arame?  1 m e 2 m

x + y =3            x = 3 – y         substituindo em    x . y = 2

 Temos:       (3 – y ).y = 2

                       3y – y² = 2

                      - y² + 3y – 2 = 0       a = -1      b = 3        c = -2

                   Δ = b² - 4.a.c

                      Δ = 3² - 4.(-1).(-2)

                      Δ = 9 - 8

                      Δ = 1

                     y = (-3 ± 1)/-2               

                  y' = -2/-2           y" = - 4/-2           quando y =1    x = 3 -y      x = 3 -1     x = 2

                  y' = 1                y" = 2                  quando y = 2   x = 3 -y     x = 3 - 2     x = 1

Logo, temos como solução do sistema os pares ordenados ( 1,2) e ( 2,1). 

Assim, as dimensões do retângulo que construí com o pedaço de arame são 1m e 2m.

02) Determine dois números inteiros e positivos tais que o produto entre eles seja 140, e a diferença entre eles seja 4.    14 e 10

x - y = 4           x = 4 + y         substituindo em    x . y = 140

 Temos:       (4 + y ).y = 140

                       4y + y² = 140

                       y² + 4y – 140 = 0       a = 1      b = 4        c = - 140

                   Δ = b² - 4.a.c

                      Δ = 4² - 4.1.(-140)

                      Δ = 16 + 560

                      Δ = 576

                     y = (-4 ± 24)/2               

                  y' = 20/2           y" = - 28/2           

                  y' = 10                y" = -14  não serve        

      quando y =10    x = 4 + 10      x =  14     

Logo, temos como solução do sistema o par ordenado ( 14,10) 

03) Considere dois números reais positivos x e y. Se você dividir x por y, encontrará 3 como resultado. Sabendo que o quadrado do número y é igual ao número x aumentado de 10 unidades, quais são esses números?   x = 15 e y = 5

x/y =  3         x = 3 y         substituindo em  y² = x + 10

 Temos:       y² = 3y + 10

                      y² - 3y - 10 = 0            a = 1      b = - 3        c = -10

                   Δ = b² - 4.a.c

                      Δ = (-3)² - 4.1.(-10)

                      Δ = 9 + 40

                      Δ = 49

                     y = 3 ± 7)/2               

                  y' = 10/2           y" = - 4/2           

                  y' = 5                y" = - 2  não serve        

      quando y = 5    x = 3y     x =  3.5          x = 15   

Logo, temos como solução do sistema o par ordenado ( 15,5) 

04) A diferença entre dois números inteiros positivos é igual a 3. O quadrado do número maior menos o dobro do número menor é 86. Quais são esses números? 10 e 7

x - y = 3           x = 3 + y         substituindo em    x² - 2y = 86

 Temos:       (3 + y )² - 2y = 86

                     9 + 6y + y² - 2y = 86

                       y² + 4y – 77 = 0       a = 1      b = 4        c = - 77

                   Δ = b² - 4.a.c

                      Δ = 4² - 4.1.(- 77)

                      Δ = 16 + 308

                      Δ = 324

                     y = (- 4 ± 18)/2               

                  y' = 14/2           y" = - 22/2           

                  y' = 7                y" = -11  não serve        

      quando y = 7   x² - 2y = 86      x² - 2.7 = 86    x² - 14 = 86       

                             x² = 86 + 14       x² = 100         x = √100     x = 10

Logo, temos como solução do sistema o par ordenado (10 e 7) 

05) A soma de dois números é 6, e o produto entre eles é igual a -16. Determine quais são esses números:  S= {(−2,8) ;( 8,−2)}

x + y = 6            x = 6 – y         substituindo em    x . y = -16

 Temos:       (6 – y ).y = -16

                       6y – y² = -16

                      - y² + 6y + 16 = 0       a = -1      b = 6        c = 16

                   Δ = b² - 4.a.c

                      Δ = 6² - 4.(-1).16

                      Δ = 36 + 64

                      Δ = 100

                     y = (- 6 ± 10)/-2               

                  y' = 4/- 2           y" = - 16/-2      quando y = - 2    x = 6 - y     x = 6 + 2     x = 8

                  y' = - 2                y" = 8            quando y = 8       x = 6 - y     x = 6 - 8    x = - 2

Logo, temos como solução do sistema os pares ordenados {(−2,8) ;( 8,−2)}