Exercícios sobre equações irracionais do primeiro e segundo grau com respostas - Matemática

 01) Qual é a solução da equação  

02) Determine os números reais x que fazem com que as expressões 

tenham o mesmo valor numérico.

03) Se adicionarmos o número real 

 a um número real x, vamos obter 10. Nessas condições, qual é o valor do número x?

04) Resolva as equações irracionais abaixo.

05) Para quais valores de x as expressões 

06) Quais são as raízes da equação irracional 

07) Determine os valores de x para os quais a expressão 

08) Resolva a equação irracional literal, na variável x: 

09) Resolva a equação 

10) Quais são as soluções da equação 

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GABARITO:

01) 5

02) 2

03) 7

04) 

     a) 17

     b) -2 ; 3

     c) 0

     d) 0

     e) 20

05) 0 ou - 2

06) S = { 3,5}

07) 5

08) x = a

 

09) 17

10) 0

Exercícios sobre equações biquadradas com respostas.

 01) Determine, no conjunto IR, o conjunto solução de cada uma das seguintes equações biquadradas:

02) Para que valores reais de x as expressões  

apresentam valores numéricos iguais?

03) Determine o conjunto solução de cada uma das seguintes equações, sendo U = IR:

04) Qual é a soma das raízes reais positivas da equação 

05) Considere a equação  

em que x diferente de 1 e x diferente -1. Essa equação tem quantas raízes reais?

06) Todas as raízes da equação  

com x diferente de zero, são números reais. Essa afirmação é correta? Justifique.

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Gabarito:

01) 

a) { -3,3}

b) {-2,2}

c){0,-4,4}

d){-2,2}

02)  -1 e 1

03) 

a) {-3,3;-2,2}

b) {mais ou menos raiz de 2 }

c) {-2,2}

d) {mais ou menos raiz de 5 -2,2}

04) 5 + 1 = 6

05) Duas: -2,2

06) Sim; pois as raízes são -1,1, menos raiz de e mais raiz de 2 

 

Exercícios sobre estudo do sinal de uma função com gabarito

 01) Para quais valores reais de x a função y = x² - x - 6  é:

a) numa ( y = 0 )?

b) positiva ( y > 0 )?

c) negativa ( y < 0 )?

02) Dada a função y = 9x² - 8x - 1 , determine os valores reais de x para os quais se tem:

a) y = 0 

b) y > 0

c) y < 0

03) Dada a função y = - x² + 5x, determine os valores reais de x para que se tenha:

a) y = 0 

b) y > 0

c) y < 0

04) Sabendo que y = - x² + 10x - 25, determine os valores reais de x para que se tenha:

a) y = 0 

b) y > 0

c) y < 0

05) Analise a função y = x² - 6x + 15 quanto ao sinal.

06) Dada a função y = x² - 9x - 10, calcule os valores reais de x para que se tenha y > 0.

07) Existem valores reais de x para os quais x² - 8x + 16 < 0?

08) Existem valores reais de x para os quais a função y = 2x² - x + 3 é positiva (y > 0 )?

09) determine a solução da inequação do 2º grau x² + 3x < 0, em IR.

10) Determine a solução, em IR, da inequação do 2º grau ( x - 1 )² + x > 3.

11) Para quais valores reais de x a expressão x³ - 1 é menor, numericamente, que a expressão x³ - x² + 5x - 5?

12) Qual é o menor inteiro positivo x que verifica a inequação ( 3x - 1 ) ( x - 2 ) > 2 ( x² - 2 )?

13) Qual é o menor e qual o maior número inteiro x que faz com que a expressão x² - 5x - 36 seja menor que zero?

14) para quais valores reais de x a função y = x² - 10x + 21 é negativa?

15) Existe algum valor real de x que satisfaça a inequação 4x² - 3 , 12 ( x - 1 )?

16) Qual é a solução, no conjunto IR, da inequação 8( x² - 3 ) + 1 < 5 ( x² - 1 ) - 6 ?

17) Determine os valores reais de x para os quais a área do retângulo da figura é maior que 9.

Gabarito:

01) 

a) para x = - 2 ou x = 3.        

b) para x real, com x < - 2 ou x > 3       

c) para x real, com - 2<  x < 3

02) 

a) x = - 1/9 ou x = 1

b) x real, x < -1/9 ou x > 1

c) x real, - 1/9 < x < 1

03) 

a) x = 0 ou x = 5

b) x real, o < x < 5

c) x real, x < 0 ou x > 5

04) 

a) x = 5

b) nunca teremos y > 0

c) x real, x diferente de 5

05) A função será positiva para qualquer valor real de x.

06) x real, com x < - 1 ou x > 10

07) não

08) Qualquer valor real de x torna a função positiva

09) { x pertence IR/ - 3 < x < 0 }

10) { x pertence IR/ x < - 1 ou x > 2 }

11) Para x real, com 1 < x < 4

12) 7

13) O menor é - 3, e o maior é 8

14) Para x real, com 3 < x < 7

15) não

16) { x pertence IR / - 2 < x < 2 }

17) x > 3

Exercícios sobre sistemas de duas equações do segundo grau. Equações irracionais, soma e produto das raízes da equação com resposta.

 01) Se S é o número que expressa a soma, e P o número que expressa o produto das raízes da equação 2x² + 5x - 3 = 0, então a razão S/P vale:

a) 5/3

b) - 5/3

c) 3/5

d) - 3/5

e) - 2/3

Letra: a

02) O valor de x que satisfaz a equação  

é um número real que está entre:

a) 1 e 3

b) 2 e 4

c) 3 e 5

d) 4 e 6

e) 5 e 7

Letra: c

03) Ao subtrair 3 de certo número real x, você obtém o dobro da raiz quadrada desse número x. Então, o valor de x é:

a) 1

b) 9

c) 4

d) 16

e) 5

Letra: b

04) Um dos pares ordenados ( x, y) que é solução do sistema    

a) ( 2, 1 )

b) ( 1, 0 )

c) ( 1, - 1)

d) ( 1, 1 )

e) ( 0, 2 )

Letra; d

05)  

a) - 5/2

b) - 3/2

c) 3/2

d) 5/2

e) 3

Letra: a

06) Considerando o sistema de equações do 1º grau    

Qual a equação do 2º grau cujas raízes são os valores de a e b da solução ( a, b ) do sistema?

a) x² - x + 2 = 0

b) x² - x - 2 = 0

c) x² - x - 1 = 0

d) x² - 2x + 1 = 0

e) x² + x - 2 = 0

Letra: b

07)  O volume de um paralelepípedo retângulo é obtido multiplicando-se as três dimensões desse paralelepípedo. Sabe-se que as dimensões de certo paralelepípedo retângulo são expressas por 3 cm, ( 3 - 2x) cm e ( 3 - x ) cm, e seu volume é de 15 cm³. a soma, em centímetros, das três dimensões desse paralelepípedo é:

a) 3,125

b) 3,25

c) 4,5

d) 7,5

e) 5,25

Letra: d

08) é dado o sistema de equação a seguir.

Sendo x > 0 y > 0, a soma x + y vale:

a) 3

b) 3,5

c) 4

d) 4,5

e) 5

Letra; c

09) Quando dividimos x³ - 2x² - 21x - 18 pelo polinômio x + 1, obtemos como quociente o polinômio Q(x). Se fizermos Q(x) = 0, e considerarmos x' e x as raízes da equação obtida ( com x' > x ). O valor da razão x'/x será:

a) - 2

b) 2

c0 - 1/2

d) 1/2

e) - 3

Letra: a

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Exercícios sobre relação entre os coeficientes e as raízes da equação do segundo grau com gabarito

Letra: d

02) Observe a equação a seguir:

 

                                               x( 4x - 1) = 3( x + 1 )

Uma das raízes dessa equação é o número:

a) 1,5

b) - 1,5

c) 0,5

d) 2,5

e) 1

Letra: a

a) 51

b) 53

c) 59

d) 61

e) 63/8

Letra: e

04) Considerando que a equação x² + 11 = 12x tem duas raízes reais diferentes, pode-se dizer que a média aritmética dessas raízes é:

a) 8

b) 6

c) 5

d) 4

e) 3

Letra: b

05) Considerando a equação 5x² + 6 = 31x . Uma das raízes dessa equação é expressa por uma fração. A soma dos termos da fração que expressa essa raiz é:

a) 10

b) 9

c) 8

d) 7

e) 6 

Letra: e

a) - 10 e 10

b) - 5 e 5

c) - 11 e 11

d) - 15 e 15

e) - 9 e 9

Letra: a

07) O menor valor de x que verifica a igualdade , y = - 4/x + x - 1, quando y = 2, é o números real:

a) 4

b) 2

c) 1

d) - 1

e) - 2

Letra; d

08) A equação ax² - 4x - 16 = 0 tem uma raiz cujo valor é 4. Qual é a outra raiz dessa equação?

a) 4 

b) 2

c) - 2

d) - 4 

e) - 6 

Letra: c

09) A equação x² + ( 2m - 3 )x + m² + 3 = 0 tem duas raízes reais diferentes . Nessas condições , devemos ter:

a) m < 1/4

b) m < - 1/4

c) m > 1/4

d) m > - 1/4

e) m < - 2

Letra: b

10) Na equação px² - 2( q - 1)x + 6 = 0, a soma das raízes é - 3, e o produto das raízes é 3. Nessas condições, qual é o valor de q?

a) 3

b) 2

c) 1

d) - 1

e) - 2

Letra: e

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Exercícios sobre soma e produtos das raízes da equação do segundo grau.

 01) A equação 3x² - 8x - 3 = 0 apresenta duas raízes reais e diferentes. Sem resolver a equação, determinar a soma e o produto dessas duas raízes.

02) Determinar o valor de m na equação 12x² - mx - 1 = 0, de modo que a soma das raízes dessa equação seja 5/6.

03) O produto das raízes reais da equação 8x² -9x + c = 0 é igual a 3/4. Calcular o valor do coeficiente c.

04) Calcular a soma dos inversos das raízes reais da equação 6x² - 5x - 1 = 0, sem resolver a equação.

05) Todas as equações seguintes têm raízes reais diferentes. Sem resolvê-las, calcule a soma e o produto dessas raízes.

a) x² - x - 20 = 0

b) 16x² + 8x + 1 = 0

c) 6x² - 4x - 3 = 0

d) 10x² + 3x - 4 = 0

06) A equação x² - 6x - 16 = 0 tem duas raízes reais diferente, expressas por x' e x". Sem resolver a equação, determine o valor de:

a) x' + x"            

b) x'. x"          

c) 1/x' + 1/x"

07) Se S é a soma, e P é o produto das raízes reais da equação x² - 11x + 28 = 0, qual é o valor de S - P?

08) Considere a equação x² - 0,8x - 1,6 = 0. Sendo S a soma e P o produto das raízes reais dessa equação, determine o número decimal que expressa a razão S/P.

09) Determine a soma e o produto das raízes das duas equações a seguir, sem resolvê-las.

10) Dada a equação 10x² - 7x + c = 0,determine o valor do coeficiente c de maneira que o produto das raízes reais dessa equação seja igual a 1/8. (Dê a resposta na forma decimal.)

11) Na equação 4x² - 3px + p = 0 , soma das raízes é igual ao produto dessas raízes. Nessas condições, determine o valor de p.

12)  Considere a equação  x² - 3mx + m = 0. se a soma das raízes dessa equação é 15 , qual é o produto dessas raízes?

13) Se o produto das raízes da equação x² - 2mx + m = 0  é 4, qual é a soma dessas raízes?

14) Sabendo que x' e x" são as raízes da equação x² - 5 = mx e (x' + x") + (x' . x")= 1, qual é o valor real de m que satisfaz essa condição?

15) As raízes reais de 2x² + 5x + h - 5 = 0 são tais que uma delas é igual ao inverso da outra (x' =1/x"). Nessas condições, determine o valor de h.

16) Na equação 4x² - 2(k-1)x - 1 = 0, as raízes são opostas ou simétricas. Nessas condições, qual é o valor de k?

17) 

na forma reduzida e, sem resolvê-la, determine a soma S e o produto P das raízes dessas equação.

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Gabarito: 

01) S = 8/3    e  P = - 1

02) m = 10

03) c = 6

04) - 5

05)   a) S = 1  e P = - 20

        b) S = - 1/2  e p = 1/16

        c) S = 2/3     e P = - 1/2 

        d) S = - 3/10   e P = -2/5

06) a) 6

      b) - 16

      c) -3/8

07) - 17

08) - 0,5

09) s= 5V2  P = -9

10) c = 1,25

11) p = - 2

12) 5

13) 8

14) m = 6

15) h = 7

16) k = 1

17)  S = 7/5 e P = - 6/5 

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Exercícios sobre equações do segundo e relação entre os coeficientes da equação com respostas.

01) Verificar se o número real - 5 é raiz da equação 2x² + 9x - 5 = 0.

02)  Sabendo-se que o número 1 é raiz da equação ax² - 6x + 1 = 0, calcule o valor do coeficiente a.

03) Sabendo-se que a equação 5x² - 4x + 2m = 0 tem raízes reais e diferentes, determinar os valore reais que m deve assumir.

04) determinar o valor real de p na equação x² - px + 9 = 0 para que essa equação tenha uma única raiz real.

05) Dentre os números seguintes,( -2, 0, 1,4 ) quais são raízes da equação x² - 2x - 8 = 0?

06) É correto afirmar que 2+V6 é raiz da equação x² - 4x - 2 = 0?

07) Considere a equação 2x² + kx - 1 = 0. Mostre que se k = 1, e a menor raiz real da equação é um número inteiro.

08) O número - 3 é raiz de x² - 7x - 2c = 0. Nessas condições, determine o valor real de c.

09) Determine o coeficiente b na equação 2x² - bx + 10 = 0, sabendo que o número 5 é raiz dessa equação.

10) Sabe-se que a equação 9x² - 6x + 2m = 0 tem raízes reais. Quais os possíveis valores reais de m?

11) Determine os valores reais que k deve assumir para que a equação 9x² + 9x + k = 0 não tenha raízes reais. 

12) Qual deve ser o valor do coeficiente b para que a equação 2x² + bx + 8 = 0 tenha uma única raiz real?

13) Determine os possíveis valores reais de p para que a equação 4x² - 4x + 2p - 1 = 0 tenha raízes reais e diferentes.

14) Determine o valor real de m para que a equação x² + (m -1)x + m - 2 = 0 tenha uma única raiz real ( ou duas raízes reais iguais ).

15) Quais os possíveis valores de k para que a equação (k - 2)x² - 6x - 3 = 0 não tenha raízes reais.

Respostas:

01) - 5 é raiz da equação

02) a = 5

03) m< 2/5

04) p = 6 ou p = -6

05) (-2 e 4)

06) sim

07) -1

08) c = 15

09) b = 12

10) m < ou igual 1/2

11) K > 9/4

12) b = 8 ou b = -8

13) p < 1

14) m = 3

15) k < - 1

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