01) Construí um retângulo dobrando um arame de 6 metros de
comprimento. Esse retângulo ficou com uma área de 2m². Quais são as dimensões
do retângulo que formei com esse pedaço de arame? 1 m e 2 m
x
+ y =3 x
= 3 – y substituindo em x . y = 2
Temos: (3 – y ).y = 2
3y – y² = 2
- y² + 3y – 2 = 0 a = -1 b = 3 c = -2
Δ = b² - 4.a.c
Δ = 3² - 4.(-1).(-2)
Δ = 9 - 8
Δ = 1
y = (-3 ± 1)/-2
y' = -2/-2 y" = - 4/-2 quando y =1 x = 3 -y x = 3 -1 x = 2
y' = 1 y" = 2 quando y = 2 x = 3 -y x = 3 - 2 x = 1
Logo, temos como solução do sistema os pares ordenados ( 1,2) e ( 2,1).
Assim, as dimensões do retângulo que construí com o pedaço de arame são 1m e 2m.
02) Determine dois números inteiros e positivos tais que o produto entre
eles seja 140, e a diferença entre eles seja 4. 14 e 10
x - y = 4 x = 4 + y substituindo em x . y = 140
Temos: (4 + y ).y = 140
4y + y² = 140
y² + 4y – 140 = 0 a = 1 b = 4 c = - 140
Δ = b² - 4.a.c
Δ = 4² - 4.1.(-140)
Δ = 16 + 560
Δ = 576
y = (-4 ± 24)/2
y' = 20/2 y" = - 28/2
y' = 10 y" = -14 não serve
quando y =10 x = 4 + 10 x = 14
Logo, temos como solução do sistema o par ordenado ( 14,10)
03) Considere dois números reais positivos x e y. Se você dividir x por y,
encontrará 3 como resultado. Sabendo que o quadrado do número y é igual ao
número x aumentado de 10 unidades, quais são esses números? x = 15 e y = 5
x/y = 3 x = 3 y substituindo em y² = x + 10
Temos: y² = 3y + 10
y² - 3y - 10 = 0 a = 1 b = - 3 c = -10
Δ = b² - 4.a.c
Δ = (-3)² - 4.1.(-10)
Δ = 9 + 40
Δ = 49
y = 3 ± 7)/2
y' = 10/2 y" = - 4/2
y' = 5 y" = - 2 não serve
quando y = 5 x = 3y x = 3.5 x = 15
Logo, temos como solução do sistema o par ordenado ( 15,5)
04) A diferença entre
dois números inteiros positivos é igual a 3. O quadrado do número maior menos o
dobro do número menor é 86. Quais são esses números? 10 e 7
x - y = 3 x = 3 + y substituindo em x² - 2y = 86
Temos: (3 + y )² - 2y = 86
9 + 6y + y² - 2y = 86
y² + 4y – 77 = 0 a = 1 b = 4 c = - 77
Δ = b² - 4.a.c
Δ = 4² - 4.1.(- 77)
Δ = 16 + 308
Δ = 324
y = (- 4 ± 18)/2
y' = 14/2 y" = - 22/2
y' = 7 y" = -11 não serve
quando y = 7 x² - 2y = 86 x² - 2.7 = 86 x² - 14 = 86
x² = 86 + 14 x² = 100 x = √100 x = 10
Logo, temos como solução do sistema o par ordenado (10 e 7)
05) A soma de dois números é 6, e o
produto entre eles é igual a -16. Determine quais são esses números: S= {(−2,8) ;( 8,−2)}
x + y = 6 x = 6 – y substituindo em x . y = -16
Temos: (6 – y ).y = -16
6y – y² = -16
- y² + 6y + 16 = 0 a = -1 b = 6 c = 16
Δ = b² - 4.a.c
Δ = 6² - 4.(-1).16
Δ = 36 + 64
Δ = 100
y = (- 6 ± 10)/-2
y' = 4/- 2 y" = - 16/-2 quando y = - 2 x = 6 - y x = 6 + 2 x = 8
y' = - 2 y" = 8 quando y = 8 x = 6 - y x = 6 - 8 x = - 2
Logo, temos como solução do sistema os pares ordenados {(−2,8) ;( 8,−2)}
