Equações do 2º grau resolvidas com a fórmula de BHASKARA : a) y² + 9y - 10 = 0 b) (2x + 3 ) ( x - 1 ) = 3 c) 10x² + 7x + 1 = 0 d) 4x² - x + 1 = x + 3x² e) 6x²+5x-1=0 f) x (x+3)-40=0

 01) Resolva as equações do 2º grau:

a) y² + 9y - 10 = 0    a = 1     b = +9      c = -10

Δ = b² - 4 . a . c

Δ = 9² - 4.1.(-10)

Δ = 81 + 40

Δ = 121

y = (-b ± √Δ)/2.a

y =  -9 ±√121)/2.1

y = (-9 ± 11)/2

y' = (-9 + 11)/2

y' = 2/2

y' = 1

y" = (-9-11)/2

y" = -20/2

y" = -10

S = { -10, 1 }

b)  (2x + 3 ) ( x - 1 ) = 3

   2x² - 2x + 3x - 3 - 3 = 0

   2x² + x - 6 = 0         a = 2      b = 1     c = -6

Δ = b² - 4 . a . c

Δ = 1² - 4.2.(-6)

Δ = 1 + 48

Δ = 49

x = (-b ± √Δ)/2.a

x = (-1 ±√49)/2.2

x = (-1 ± 7)/4

x' = (-1+ 7)/4

x' = 6/4

x' = 3/2

x" = (-1-7)/4

x" = -8/4

x" = -2

S = { -2, 3/2 }

c) 10x² + 7x + 1 = 0       a = 10     b = +7     c = 1

Δ = b² - 4 . a . c

Δ = 7² - 4.10.1

Δ = 49 - 40

Δ = 9

x = (-b ± √Δ)/2.a

x=  -7 ±√9)/2.10

x = (-7 ± 3)/20

x' = (-7+ 3)/20

x' = -4/20

x' = -1/5

x" = (-7-3)/20

x" = -10/20

x" = -1/2

S = { -1/5, -1/2 }

d) 4x² - x + 1 = x + 3x²

4x² - 3x² - x - x + 1 = 0

x² - 2x + 1 = 0        a =1   b = -2   c = 1

Δ = b² - 4.a.c

Δ = ( - 2 )² - 4.1.1

Δ = 4 - 4 

Δ = 0

x = (- b ± √Δ )/2.a

x = ( 2 ± 0 )/2

x' = ( 2 - 0 )/2

x' = 1

 

x" = ( 2 - 0 )/2

x" = 2/2

x" =1

S={1}

e) 6x²+5x-1=0 a = 6         b = 5          c = -1

Δ = b² - 4.a.c

Δ =  5² - 4.6.)-1)

Δ = 25 + 24 

Δ = 49

x = (- b ± √Δ )/2.a

x = ( -5 ± 7 )/12

x' = ( -5 +7 )/12

x' = 2/12

x' =1/6

 x" = ( -5 - 7 )/12

x" = -12/12

x" = -1

S={-1, 1/6}

f) x (x+3)-40=0 

x² + 3x - 40 =0     a = 1      b = 3        c = - 40

Δ = b² - 4.a.c

Δ = 3² -4.1.(-40)

Δ = 9 + 160

Δ =169

x' = (-3 +13)/2

x' = 10/2

x' = 5

x" = (-3 - 13)/2

x" = -16/2

x" = - 8

S = { - 8, 5 }

Exercícios sobre adição e subtração de polinômios resolvidos.

 01) Qual é a forma mais simples de você representar cada uma das expressões?

a) a (a² - 1) - a ( a + 7 ) + a ( a² - 4a + 3 )

    a³ - a - a² - 7a + a³ - 4a² + 3a  =

    a³ + a³ - a² - 4a² - a - 7a + 3a =

         2a³ - 5a² - 5a =

b) 7(x² - xy + y² ) - 3 ( xy + x² - y² ) + 6 ( - y² + xy + 2x² )

     7x² - 7xy + 7y² - 3xy - 3x² + 3y² - 6y² + 6xy + 12x² =

     7x² - 3x² + 12x² - 7xy - 3xy + 6xy + 7y² +3y² - 6y² =

                 16x²  - 4xy + 4y²

c) a ( a - b ) - b ( b + a - 2 ) + ab ( 1 - a + b ) + b²

    a² - ab - b² - ab + 2b + ab - a²b + ab² + b² =

                 a² - ab + 2b - a²b + ab²

d) y ( y² - y - 1 ) + y² ( 1 - y ) - y

    y³ - y² - y + y² - y³ - y =

            -2y

02) O volume de um paralelepípedo retângulo é dado pelo produto das suas três dimensões. Nessas condições, determine o volume de um paralelepípedo retângulo cujas dimensões são expressas por x², 3x e ( 2x + 5 ).

 x² . 3x . ( 2x + 5 )

3x³. ( 2x + 5 )

 6x⁴ + 15x³

03) Qual é o valor numérico da expressão que você obteve no exercício anterior quando x = -2?

  6x⁴ + 15x³

6 .(-2)⁴ + 15 .( - 2 )³ =

 6 . 16 - 15.(-8) =

     96 - 120 =

      - 24

04) Escreva na forma mais simples a expressão :

2x ( x - y ) - [ x ( x + y - 2 ) - y ( x - 2 ) ] - 2x 

2x² - 2xy - [ x² + xy - 2x - xy + 2y ] - 2x =

2x² - 2xy - x² - xy + 2x + xy - 2y - 2x =

2x² - x² - 2xy - xy + xy + 2x - 2x - 2y = 

       x² - 2xy - 2y 

Exercícios resolvidos sobre adição e subtração de fração com denominadores diferentes

 01) Adição e subtração de fração com denominadores diferentes:

GABARITO:

Como determinar o m. m. c. dos polinômios: a) 5x² e 9x + 9 b) a³ - 2a e a⁵ c) 10x e 5x³ - 15x² d) a² + 4a e a² + 8a + 16 e) 5x² + 5x, x² + 2x + 1 e 10x² f) y² - 4y + 4 , y² - 4 , y³ + 2y² g) am + an, m² - n² e 7m e 7n

 01) Determine o m.m.c. dos polinômios:

a) 5x² e 9x + 9

5x² = 5 . x² 

9x + 9 = 9(x + 1 )

m.m.c. = 45x²( x + 1 )

b) a³ - 2a e a⁵

a³ - 2a = a.(a² - 2)

a⁵

m.m.c. = a⁵(a² - 2)

c) 10x e 5x³ - 15x²

10x

5x³ - 15x² = 5x². ( x - 3 )

m.m.c. = 10x²( x - 3 )

d) a² + 4a e a² + 8a + 16

a² + 4a  = a.(a + 4 )

a² + 8a + 16 = (a + 4 )²

m.m.c. = a(a + 4 )²

e) 5x² + 5x, x² + 2x + 1 e 10x²

5x² + 5x = 5x.(x + 1 )

x² + 2x + 1 = (x + 1 )²

10x²

m.m.c. = 10x²(x + 1 )²

f) y² - 4y + 4 , y² - 4 , y³ + 2y²

y² - 4y + 4 = ( y - 2 )²

y² - 4  = (y + 2 ) ( y - 2 )

y³ + 2y² = y².(y + 2)

m.m.c. = y²( y - 2 ) ( y + 2 )

g) am + an, m² - n² e 7m e 7n 

am + an = a.(m + n )

m² - n²  =  ( m + n) (m - n )

7m + 7n  = 7.(m + n )

m.m.c =  7a ( m + n ) ( m - n )

h) 2a³ - a², 4a² - 4a + 1 e 4a² - 1

2a³ - a² = a². ( 2a - 1)

4a² - 4a + 1 = ( 2a - 1 )²

4a² - 1 = ( 2a + 1 ) (2a - 1 )

m.m.c. = a² ( 2a - 1 )² . ( 2a + 1 )

Como determinar o m.m.c. dos monômios: 12a³y e 8a²y⁴ , 60xy³ e 100xy², 15bc² e 10c, 12y⁴, 16xy² e 20y⁵z², (18a²b², 27ab³ e 36a⁴b), ( 30ab², 20ax² e 40a²bx)

 01) Determine o m. m. c. dos monômios:

a) a²b⁵ e a³b = m.m.c. = a³b⁵

b) x⁴yz, x²y³z⁵e x³y²z⁴ = m.m.c. = x⁴y³z⁵

c) 5ax⁴ e 7a³ = m.m.c. = 35a³x⁴

d) 4a⁵x² e 9x⁴y² = m.m.c. =  36a⁵y²

e) 12a³y e 8a²y⁴ 

12a³y = 2² . 3 . a³ . y

 8a²y⁴  = 2³ . 3. a³ . y⁴

m.m.c. = 2³ . 3 . a³ . y⁴ = 24a³y⁴ 

f) 60xy³ e 100xy²

60xy³  = 2⁴ . 5 . x . y²

100xy² = 2⁴ . 5² . x . y³

m.m.c. = 2⁴ . 5² . x . y³ = 400xy³

g) 15bc² e 10c

15bc² = 3 . 5. b. c 

10c = 2 . 5. c 

m.m.c. = 2. 3. 5. b. c² = 30bc²

h) 12y⁴, 16xy² e 20y⁵z²

12y⁴ = 2³. 3 . y⁴

16xy² = 2⁴ . 5 . y²

20y⁵ = 2³ . 5 . y⁵.z²

m.m.c. = 2⁴ . 3 . 5 . x . y⁵. z² = 240x y⁵z²

i) 18a²b², 27ab³ e 36a⁴b

18a²b² = 2. 3². a² . b²

27ab³ = 3³ . a  b³

36a⁴b = 2² . 3³ . a⁴. b

m.m.c. = 2². 3³. a⁴. b³ = 108a⁴b³

j) 30ab², 20ax² e 40a²bx

30ab² = 2. 3. 5. a. b²

20ax² = 2² . 5 . a . x²

40a²bx = 2³ . 3. 5 . a² . b . x

m.m.c. = 2³ . 3. 5. a². b². x² = 120 a²b²x²

02) Sabendo que a = 2³ . 3. 5²  e b = 2⁴ . 5, determine m.m.c. ( a, b ).

m.m.c. ( a, b ) = 2⁴  . 3 . 5² = 1200

Como calcular o M.M.C de: a) 250 e 200 b) 270 e 180 c) 75, 30 e 45 d) 36 , 48 ,72

 01) Determine o M. M. C. dos números:

a) 250 e 200

b) 270 e 180

c) 75, 30 e 45 

d) 36 , 48 ,72

Como determinar as coordenadas ( x , y ) das funções a) y = x² + 6x + 8 b) y = x² - 2x - 8 c) y = - x² + 8x - 15 d) y = - 4x² + 6x e) y = x² + 6x + 11

 01) Determine as coordenadas (x,y) do vértice da parábola que representa cada uma das seguintes funções:

a) y = x² + 6x + 8      

Xv= - b/2a                 Yv = X²v +6Xv + 8

Xv = - 6/2                   Yv = (-3)² + 6.(-3) + 8

Xv = - 3                       Yv = 9 -18 + 8

                                     Yv = 17 - 18

                                     Yv = -1

coordenadas ( x , y ) = ( -3 , -1 )

b) y = x² - 2x - 8 

Xv= - b/2a                 Yv = X²v - 2Xv - 8

Xv = 2/2                   Yv =  1²  - 2 .1 - 8

Xv = 1                       Yv = 1 - 2 - 8

                                     Yv = 1 - 10

                                     Yv = - 9

coordenadas ( x , y ) = ( 1 , - 9 )

c) y = - x² + 8x - 15

Xv= - b/2a                 Yv = - X²v +8Xv - 15

Xv = - 8/-2                   Yv = - 4² + 8. 4 - 15

Xv = 4                       Yv = - 16 + 32 - 15

                                     Yv = - 31 + 32

                                     Yv = 1

coordenadas ( x , y ) = ( 4 , 1 )

d) y = - 4x² + 6x

Xv= - b/2a                 Yv = - X²v +6Xv 

Xv = - 6/-8                   Yv = -.4. (3/4)² + 6.3/4

Xv = 3/4                       Yv = -36/16 + 18/4

                                     Yv =  (-36 + 72)/16

                                     Yv =  36/16

                                     Yv = 9/4

coordenadas ( x , y ) = ( 3/4 , 9/4 )

e) y = x² + 6x + 11 

Xv= - b/2a                 Yv =  X²v +6Xv + 11

Xv = - 6/2                   Yv = (- 3)² + 6. (-3) + 11

Xv = -3                       Yv = 9 - 18 + 11

                                     Yv = 20 - 18

                                     Yv = 2

coordenadas ( x , y ) = ( - 3 , 2 )

Equação do 2º grau resolvidas 01) 3x² - 2x - 8 = 0 02) 6x² - 7x - 3 = 0 03) 6x² - 5x + 1 = 0 04) x² + 2x - 3 = 0 05) 2x² + 3x + 1 = 0

  Equação do 2º grau.

01) 3x² - 2x - 8 = 0

Δ = b² - 4 . a . c

Δ = (-2)² - 4.3.(-8)

Δ = 4 + 96

Δ = 100

x = (-b ± √Δ)/2.a

x = -(-2) ±√100)/2.3

x = (2 ± 10)/6

x' = (2 + 10)/6

x' = 12/6

x' = 2

x" = (2 - 10)/6

x" = -8/6

x" = -4/3

S = {  -4/3, 2 }

02) 6x² - 7x - 3 = 0

Δ = b² - 4 . a . c

Δ = (-7)² - 4. 6.(-3)

Δ = 49 - 72

Δ = - 23

não existe x real

solução vazia.

03) 6x² - 5x + 1 = 0

Δ = b² - 4 . a . c

Δ = (-5)² - 4.6.1

Δ = 25 - 24

Δ = 1

x = (-b ± √Δ)/2.a

x = -(-5) ±√1)/2.6

x = (5 ± 1)/12

x' = (5 + 1)/12

x' = 6/12

x' = 1/2

x" = (5 - 1)/12

x" = 4/12

x" = 1/3

S = {  1/3, 1/2 }

04) x² + 2x - 3 = 0

Δ = b² - 4 . a . c

Δ = 2² - 4.1.(-3)

Δ = 4 + 12

Δ = 16

x = (-b ± √Δ)/2.a

x = (-2 ±√16)/2

x = (-2 ± 4)/2

x' = (-2 + 4)/2

x' = 2/2

x' = 1

x" = (-2 - 4)/2

x" = -6/2

x" = -3

S = {  -3, 1 }

05) 2x² + 3x + 1 = 0

Δ = b² - 4 . a . c

Δ = 3² - 4.2.1

Δ = 9 - 8

Δ = 1

x = (-b ± √Δ)/2.a

x = (-3 ±√1)/2.2

x = (-3 ± 1)/4

x' = (-3 + 1)/4

x' = -2/4

x' = -1/2

x" = (-3- 1)/4

x" = -4/4

x" = -1

S = { -1/2, -1 }

Equação exponencial resolvida 5^x-1 -5^x + 5^x+1=105

 a) 5^x-1 -5^x + 5^x+1=105

    5^x : 5 - 5^x + 5^x . 5 = 105                 fazendo y = 5^x

   y/5 - y + 5y = 105 . (5)                                        25 = 5^x

   y - 5 + 25y = 525                                                 5² = 5^x

              21y = 525                                                   x = 2

                 y = 525/21                                        S = { 2 }

                 y = 25

Equações do 2º grau resolvidas com a fórmula de BHASKARA: a) x² - 10x + 25 = 0 b) 2x² - 8x + 3 = 0 c) x² + 5x + 4 = 0 d) x² + 7x + 6 =0

 01) Resolver:

a) x² - 10x + 25 = 0     a = 1       b = - 10         c = 25

Δ  = b² - 4 . a . c

Δ = (-10)² - 4. 1 . 25

Δ = 100 - 100

Δ = 0

x = (- b ± √Δ)/2.a

x = (10 ± 0)/2

x' = x" =  10/2

x' = x" = 5

S = { 5 }

b) 2x² - 8x + 3 = 0    a = 2       b = - 8         c = 3

Δ  = b² - 4 . a . c

Δ = (-8)² - 4. 2 . 3

Δ = 64 - 24

Δ = 40

x = (- b ± √Δ)/2.a

x = (8 ± 2√10)/2.2

x' =  (8 + 2√10)/4

x' = (4 + √10)/2

x' =  (8 - 2√10)/4

x" = (4 - √10)/2

S = {(4 - √10)/2, (4 + √10)/2  }

c) x² + 5x + 4 = 0      a = 1       b = 5        c = 4

Δ  = b² - 4 . a . c

Δ =  5² - 4. 1 . 4

Δ = 25 - 16

Δ = 9

x = (- b ± √Δ)/2.a

x = (-5 ± 3)/2

x' = (- 5 + 3)/2

x' = -2/2

x' = -1

x" = (-5 - 3)/2

x" = - 8/2

x" = - 4

S = { - 4, - 1 }

d) x² + 7x + 6 =0

Δ  = b² - 4 . a . c

Δ =  7² - 4. 1 . 6

Δ = 49 - 24

Δ = 25

x = (- b ± √Δ)/2.a

x = (-7 ± 5)/2

x' = (- 7 + 5)/2

x' = -2/2

x' = -1

x" = (-7 - 5)/2

x" = - 12/2

x" = - 6

S = { - 6, - 1 }

Equações do segundo grau completas e incompletas resolvidas a) - 4x² - 6x + 1 = 0 b) x² - 5x + 13 = 0 c) 3x² + 15 = 0 d) 3x² - 27 = 0

 01) Resolver as equações do 2º grau:

a) - 4x² - 6x + 1 = 0     a = - 4          b = - 6        c = 1

Δ =  b² - 4 . a . c

Δ = (-6)² - 4.(-4).1

Δ = 36 + 16

Δ = 52

b) x² - 5x + 13 = 0        a = 1          b = - 5        c = 13

Δ =  b² - 4 . a . c

Δ = (-5)² - 4.1.13

Δ = 25 - 42

Δ = - 17

não existe x

S = {    }

c) 3x² + 15 = 0

    3x² = -15

     x² = - 15/3

     x² = - 5

     x = ± √-5

não existe x

S = {    }

d) 3x² - 27 = 0

     3x² = 27

       x² = 27/3

       x² = 9

      x = ± √9

      x = + 3 

      x =  -3

S = { - 3 , 3 }

Equação do 2º grau completa resolvidas: a) x² - 21x + 108 = 0 b) x² + 10x + 24 = 0 a) 6x² - 7x -3 = 0

 01) Resolva:

a) x² - 21x + 108 = 0 a = 1 b = - 21 c = 108

Δ = b² - 4 . a. c

Δ = (-21)² - 4.1.108

Δ = 441 - 432

Δ = 9

x' =  (21 + 3 )/2

x' = 24/2

x' = 12

x" = (21 - 3)/2

x" = 18/2

x" = 9

S = { 9,12}

b) x² + 10x + 24 = 0        a = 1 b = 10 c = 24

Δ = b² - 4 . a. c

Δ = 10² - 4.1.24

Δ = 100 - 96

Δ = 4

x' =  (-10 + 2 )/2

x' = -8/2

x' = - 4

x" = (-10 - 2)/2

x" = -12/2

x" = - 6

S = { - 6,-4}

a) 6x² - 7x -3 = 0 a = 6 b = - 7 c = -3

Δ = b² - 4 . a. c

Δ = (- 7)² - 4.6.(-3)

Δ = 49 + 72

Δ = 121

x' =  (7 + 11 )/12

x' = 18/12

x' = 3/2

x" = (7- 11)/12

x" = -4/12

x" = -1/3

S = { -1/3, 3/2}

Exercícios resolvidos sobre polinômios escritos na forma reduzida.

 01) Vamos escrever na forma reduzida cada um dos seguintes polinômios:

a) 8x³ - ( x² + 7x - 5 ) + ( - 2x³ + 6x² - x ) - ( - 1 + 3x )

    8x³ - x² - 7x + 5 - 2x³ + 6x² - x + 1 - 3x² =

    8x³ - 2x³ - x² + 6x² - 3x² - 7x - x + 5 + 1 =

        6x³ + 2x² - 8x + 6

b) ab - ( - 2a + b ) - ( c + 3a - ab ) + ( 4a - c )

    ab + 2a - b - c - 3a + ab + 4a - c =

    ab + ab + 2a + 4a - b - c - c =

      2ab + 6a - b - 2c 

c) x - ( - 5y + 3x ) + ( xy - x - y ) - ( 7y + 2xy )

    x + 5y - 3x + xy - x - y - 7y - 2xy =

   x - x - 3x + 5y - y - 7y + xy - 2xy =

         - 3x - 3y - xy

d) 3a - [ - 5b + 8c - ( a + 3b + 5c ) - ( b + c ) ] - 2a

    3a  - [ - 5b + 8c - a - 3b - 5c - b - c ] - 2a =

    3a + 5b - 8c + a + 3b + 5c + b + c - 2a =

    3a + a - 2a + 5b + 3b + b  - 8c + 5c + c =

        2a  + 9b - 2c

e) ax - [ - 2bx - ( ab + ax - bx ) + 2ab ] - ( 2ax - ab )

    ax - [ - 2bx - ab - ax + bx + 2ab ] - 2ax + ab =

    ax + 2bx + ab + ax - bx - 2ab - 2ax + ab =

    ax + ax - 2ax + ab + ab - 2ab+ 2bx - bx =

                   bx

02) Escreva o polinômio 2r + ( - s + rs ) - ( r + 3rs - 5s ) e determine o seu valor numérico para r = 2, s = - 2.

2r + ( - s + rs ) - ( r + 3rs - 5s )

2r - s + rs - r - 3rs + 5s =

2r - r - s + 5s - 3rs + rs =

 r + 4s - 2rs =

Valor numérico:

r + 4s - 2rs 

2 + 4 (-2) - 2. 2.(-2)=

2 - 8 + 8 =

2

 03) A figura é um retângulo cujas medidas estão indicadas. Nessas condições:

a) Qual é o polinômio reduzido que representa o perímetro desse retângulo?

2(3x - 1 ) + 2 ( 2x + 3 ) =

6x - 2 + 4x + 6 =

6x + 4x - 2 + 6 =

10x + 4

b) Qual é o perímetro desse retângulo quando x = 6,5 cm?

 10x + 4 = 

10 . (6,5) + 4 =

65 + 4 =

69 cm

Exercício resolvidos sobre as funções do segundo grau f(x) = x² - 5x + 6, g(x) = x² - 4x + 3 e h(x) = - x² + 9x - 20.

 01) Dada as funções f(x) = x² - 5x + 6, g(x) = x² - 4x + 3 e h(x) = - x² + 9x - 20. Determine:

a) f(2)

f(2) = 2² - 5 . 2 + 6

f(2) = 4 - 10 + 6

f(2) = 10 - 10

f(2) = 0

b) g(2) 

g(2) = 2² - 4 . 2 + 3

g(2) = 4 - 8 + 3

g(2) = 7 - 8

g(2) = - 1

c) h(2)

h(2) = - 2² + 9 . 2 - 20

h(2) = - 4 + 18 - 20

h(2) - 24 + 18

h(2) = - 6

d) f(5)

f(5) = 5² - 5 . 5 + 6

f(5) = 25 - 25 + 6

f(5) = 0 + 6

f(5) = 6

e) g(-3) 

g(-3) = (-3)² - 4 . (-3) + 3

g(-3) = 9 + 12 + 3

g(-3) = 24

f) h(-1)

h(-1) = - (-1)² + 9 . (- 1) - 20

h(-1) = -1 -9 - 20

h(-1) = - 30

g) f(-2)    

f(-2) = (-2)² - 5 . (-2) + 6

f(-2) = 4 + 10 + 6

f(-2) = 20

h) As raízes da função f        f(x) = x² - 5x + 6

f(x) = x² - 5x + 6    fazendo f(x) = 0 temos

 x² - 5x + 6 = 0          a = 1      b = - 5        c = 6

Δ = b² - 4 . a . c

Δ = (-5)² - 4 . 1 . 6

Δ = 25 - 24

Δ = 1

x = ( -b +- √Δ )/2.a

x = ( 5 + - 1)/2

x' = (5 + 1 )/2         x' = 6/2                  x' = 3

x" = (5 - 1 )/2         x" = 4/2                 x" = 2

i) As raízes da função g      g(x) = x² - 4x + 3

g(x) = x² - 4x + 3    fazendo f(x) = 0 temos

x² - 4x + 3 = 0          a = 1      b = - 4        c = 3

Δ = b² - 4 . a . c

Δ = (-4)² - 4 . 1 . 3

Δ = 16 - 12

Δ = 4

x = ( -b +- √Δ )/2.a

x = ( 4 + - 2)/2

x' = (4 + 2 )/2         x' = 6/2                  x' = 3

x" = (4 - 2 )/2         x" = 2/2                 x" = 1

j) As raízes da função h      h(x) = - x² + 9x - 20

h(x) = - x² + 9x - 20   fazendo f(x) = 0 temos

- x² + 9x - 20 = 0          a = - 1      b = + 9        c = - 20

Δ = b² - 4 . a . c

Δ = (9)² - 4 .(-1) . (-20)

Δ = 81 - 80

Δ = 1

x = ( -b +- √Δ )/2.a

x = ( -9 + - 1)/-2

x' = (-9 + 1 )/-2         x' = -8/-2                   x' =  4

x" = (-9 - 1 )/-2         x" = -10/-2                 x" = 5

Exercícios resolvidos sobre polinômios escrito na forma reduzida

 01) Qual é o polinômio que representa o perímetro da figura seguinte?

 

    14x + 2y

02) Escreva o polinômio que representa a área:

a) da figura 1 .  x²

b) da figura 2. ax

c) da figura 3. a²

d) da figura toda. x² + ax + a²

03) Escreva o polinômio que representa:

a) o volume do sólido 1. x³

b) o volume do sólido 2. x²y

c) o volume do sólido todo.  x³ + x²y

04) Escreva o polinômio que representa a área:

a) do retângulo 1.    ax

b) do retângulo 2.    bx

c) do retângulo 3.    ay

d) do retângulo 4.   by

e) da figura toda.  ax + bx + ay + by

05) Escreva a forma reduzida cada um dos seguintes polinômios:

a) 3a³ - 2a + 5a³ - 4a³ - 3a 

3a³ + 5a³ - 4a³ - 2a - 3a =

8a³ - 4a³ - 5a =

4a³ - 5a

b) 7x² - 6x + 9 + 2x - 5x² - 8 

7x² - 5x² - 6x + 2x + 9 - 8 =

7x² - 11x²  - 4x + 1 =

 - 4x² - 4x + 1 

c) 3a + 8ab + 5b - 2ab - 7a + b - ab 

3a - 7a + 8ab - ab + 5b + b =

- 4a + 7ab + 6b 

d) 2xy + 1xy²/2 - 2x²y/3 - xy² + 1xy/4 + 1x²y/6

2xy + 1xy/4 + 1xy²/2 - xy² - 2x²y/3 + 1x²y/6 =

9xy/4 - 1xy²/2 - 1x²y/2

Exercícios sobre perímetro e área do quadrado e do retângulo com monômios resolvidos.

01) O perímetro da figura seguinte pode ser obtido por meio de uma adição algébrica de monômios. Escreva essa adição e dê o perímetro da figura: 

Resolução:

                  x + 5x + 5x + 2x + 4x + 3x = 20x

02) A área de um  quadrado é dada pelo quadrado da medida do lado. Na figura seguinte, a medida do lado de cada quadrado é expressa por x. Nessas condições e usando uma adição de monômios, determine a área da figura:

 Resolução: 

        x² + x² + x² = 3x²

03) Observando a figura seguinte, responda o que se pede:

a) Qual o monômio que representa a área do retângulo 1?    4ab

b) Qual o monômio que representa a áreas do retângulo 2? 3ab

c) Qual o monômio que representa a área do retângulo 3? ab

d) Qual o monômio que representa a área total da figura?  4ab + 3ab + ab = 8ab

04) A área de um retângulo é dada pelo produto do comprimento pela largura. Nessas condições, determine o monômio que representa a área do retângulo da figura seguinte:

Resolução:

                  2x . 1x/3 = 

                  ( 2. 1/3 ) (x . x ) = 2x² /3

05) O volume de um paralelepípedo é dado pelo produto das suas três dimensões. Nessas condições, determine o monômio que representa o volume do paralelepípedo da figura seguinte:

Resolução:

                  (2x). (y) . ( 3x ) = 

                    2 . 3. x . x . y = 

                            6x²y

06) Na figura seguinte, cada retângulo representa um ladrilho com 2n unidades de comprimento e n unidades de largura. Nessas condições, determine:

a) a área de cada retângulo.  2n . n = 2n²

b) a área ocupada pelos ladrilhos cinza.                                 15 . 2n² = 30n²

c) a área ocupada pelos ladrilhos brancos.                            10 . 2n² = 20n²

d) a área total da figura. 30n² + 20n² = 50n²

Exercícios resolvidos sobre expressão algébricas para 7º e 8º ano Ensino Fundamental.

 01) Para x = - 8 e y = - 5 , determine o valor numérico da expressão 9x - 13y.

 Fazendo a substituição em       9x - 13y

                                                9 . ( -8 ) - 13 ( - 5 ) =

                                                 -72  + 65 =

                                                    - 7

02) Determine o valor numérico da expressão 2x² - xy quando x = -2 e y = 4.

Fazendo a substituição em  2x² - xy 

                                           2 . ( -2 )² - (- 2) . 4 =

                                          2 . 4 + 8 =

                                          8 + 8 =

                                           16

03) Sabendo que a = 1/2 e b = 1/4, determine o valor numérico de 5b - a² .

Fazendo a substituição em   5b - a² 

                                           5 . 1/4 - (1/2)² =

                                           5/4 - 1/4 =

                                              4/4 = 

                                                1

04) Dada a expressão 6x² - 5x - 1 , determine seu valor numérico quando x = - 3.

Fazendo a substituição em     6x² - 5x - 1

                                              6 . ( - 3 )² - 5 . (- 3 ) - 1 =

                                               6 . 9 + 15 - 1 =

                                                54 + 15 - 1 = 

                                                   69 - 1 = 

                                                     68 

05) Qual é o valor numérico da expressão 1/a + √a - 2a quando a = 4 ?

Fazendo a substituição em  1/a + √a - 2a

                                             1/4 + √4 - 2 .4

                                              1/4 + 2 - 8

                                               1 + 8 - 32 =

                                                      4

                                                 -23/4

06) Determine o valor numérico de p² - mp + 2m quando p = 1,2 e m = - 1,7.

Fazendo a substituição em  p² - mp + 2m

                                          (1,2)² - (-1,7).(1,2) + 2. ( -1,7)

                                           1,44 + 2,04 - 3,4

                                               3,48 - 3,4 

                                                   0,08

07) Sendo dados x = - 11 e y = 5, determine o valor numérico de cada uma das expressões:

a) ( x + y ) ( x - y )                                        b) ( x - y )/ ( x + y )

    ( - 11 + 5 ) ( - 11 - 5 )                                     ( - 11 - 5)/ ( - 11 + 5 )

           ( - 6) . ( - 16)                                                   ( -16 )/ ( - 6)

                    + 96                                                                + 8/3

08) Determine o valor numérico da expressão algébrica  √(5x - xy) quando x = 10 e y = 0,1.

Fazendo a substituição em  √(5x - xy) 

                                            √(5 . 10 - 10. 0,1) =

                                             √(50 - 1) =

                                             √49 =

                                               7

09) Sendo a = 4 e b = - 8, qual é o valor numérico de  (a² + b)/ (b - ab) ?

Fazendo a substituição em  (a² + b)/ (b - ab)

                                             ( 4² - 8 )/[( - 8 - 4. (-8)] =

                                              (16 - 8)/ [ - 8 + 32 ] =

                                                   8/ 24 =

                                                    1/3

10) Determine o valor numérico da expressão (xy - y² )/√ xy quando x = 1/2  e y = 8.

Fazendo a substituição em  (xy - y² )/√ xy 

                                             ( 1/2.8 - 8²)/√1/2/8 =

                                              ( 4 - 64 )/√4 =

                                                 - 60/2 =

                                                   - 30

11) Sendo x = - 1, qual é o valor numérico da expressão (5x³ - 2x² + 5 )/ (x - 1)

Fazendo a substituição em     (5x³ - 2x² + 5 )/ (x - 1)

                                               [( 5 . (-1)³ - 2 . (-1)² + 5 )]/ (-1 - 1 ) =

                                               [ 5 . (-1) - 2 . 1 + 5 ]/ -2 =

                                                 [ - 5 - 2 + 5 ] / - 2 =

                                                           - 2/-2 =

                                                               1

12) Um chefe de departamento de promoção de vendas verifica que quanto mais ele anuncia na televisão mais ele vende. Nota, também, que o número de mercadorias vendidas durante a semana é representado pela expressão algébrica 3x/2 + 150, onde x representa o número de comerciais de televisão durante a semana. Qual será o número de mercadorias vendidas se forem feitos 60 comerciais de televisão durante a semana?

3x/2 + 150

3/2 .60 + 150

180/2 + 150

 90 + 150

 240

Resposta: Serão vendidas 240 mercadorias.

13) Observando a figura abaixo, responda o que se pede:

a) Qual é a expressão algébrica que representa a área da região colorida da figura?  a² - bc

b) Qual é o valor numérico dessa expressão para a = 8, b = 3 e c = 5  

Fazendo a substituição  a² - bc

                                      8² - 3 . 5

                                      64 - 15

                                          49

Exercícios resolvido sobre problema de equação do 2º grau

 > Resolva os seguintes problemas:

01) Calcule a soma dos quadrados das raízes da equação x² - 2x + 6  = 0, sem resolvê-la.

02) Calcule o valor de h na equação ( h + 3 )x² - 2(h + 1)x + h - 10 = 0, de modo que a soma dos inverso das raízes seja 1/3.

1/x' + 1/x" = 1/3                                  S = ( 2h + 2 )/( h + 3 )                 P = (h - 10)/ (h + 3)

Resolvendo temos

(3x" + 3x' )/ 3( x' . x" ) = ( x' . x" )/ 3(x' . x" )

3 ( x" + x' )  = x' . x" 

fazendo a substituição temos:

3( 2h + 2)/(h + 3 ) = ( h - 10)/( h +3 )

 (6h + 6)/ (h = 3 ) = ( h - 10)/( h +3 )

  6h + 6 = h - 10

  6h - h = - 10 - 6

   5h = - 16

     h = -16/5

03) Dada a equação x² - 5 + q = 0, determine q, de modo que:

I) uma das raízes seja 3;

x' = 3

x² - 5x + q = 0

3² - 5. 3 + q = 0

9 - 15 + q = 0

     - 6 + q = 0

               q = 6

II) a soma dos inverso das raízes seja 5/4.

1/x' + 1/x"

(4x" + 4 x')/ 4(x'. x") = 5(x'. x")/4(x' . x")

 4(x" + x' ) = 5( x' . x" )                          Fazendo : S = 5     e P = q

 4 . 5 = 5. q

20 = 5q

q = 20/5

q = 4

04) Determine c na equação x² - 10x + c = 0, de modo que uma raiz seja o quadruplo da outra.

x' = 4x"                    S =10                          

4x" - x' = 0                                                      

 x" + x' = 10

5x" = 10     

  x" = 10/5

  x" = 2

substituindo x" = 2 :     

x² - 10x + c = 0

2² - 10.2 + c = 0

4 - 20 + c = 0

- 16 + c = 0

         c = 16

                   

05) Determine k na equação x² - 7x + k = 0, de modo que suas raízes sejam consecutivas.

x" - x' = 1                                x² - 7x + k = 0

x" + x' = 7                               4² - 7. 4 + k = 0

2x" = 8                                   16 - 28 + k = 0

x" = 8/2                                      - 12 + k = 0

x" = 4                                                  k = 12 

06) Determine a, de modo que uma das raízes de ax² - 8x + 3= 0 seja o triplo da outra.

x' = 3x"                                x' + x" = 8/a           > 3x" + x" = 8/a

3/2 = 3x"                             x' . x"  = 3/a                  4x" = 8/a

6x" = 3                                x' = 3/a . a/2                    x" = 8/a . 1/4

x" = 3/6                               x' = 3a/2a                       x" = 8/4a

x" = 1/2                              x' = 3/2                           x" = 2/a

ax² - 8x + 3 = 0

a(3/2)² - 8.3/2 + 3 = 0

9a/4 - 12 + 3 = 0

(9a - 48 + 12)4 = 0

9a - 36 = 0

9a = 36

 a = 36/9

a = 4 

07) Calcule o menor valor de m na equação mx² - ( 3m - 1 )x + m = 0, de modo que a razão entre suas raízes seja 1/4.

x'/x"=1/4                                                   x' . x" = 1

4x' = x"                                                     x'. 2 = 1

4.1/2 = x"                                                 x' = 1/2

4/2 = x"

x" = 2

 Substituindo x" = 2 em 

mx² - ( 3m - 1 ) + m = 0

2²m - (3m - 1).2 + m = 0

4m - 6m + 2 + m = 0

5m - 6m + 2 = 0

- m = -2 (-1)

 m = 2

08) determine m, de modo que uma das raízes da equação ( m - 1 )x² - 8x + 3 seja o inverso da outra.

 x' = 1/x"                      x' + x" = 8/m -1

x' . x" = 1                     x' . x" = 3/ m -1

substituindo em x' . x"  = 1

                         3/m-1 = 1

                        m - 1 = 3 

                       m = 3 = 1

                       m = 4

 

Exercícios resolvidos sobre equação do primeiro grau para 7º e 8º ano Ensino fundamental.

 01) Resolva as seguintes equações, sendo U = Q :

a) 4x - 1 = 3 ( x - 1 )

    4x - 1 = 3x - 3

    4x - 3x = - 3 + 1

             x = -2

             S = { - 2 }

b) 3 ( x - 2 ) = 2x - 4 

     3x - 6 = 2x - 4

     3x - 2x = - 4 + 6

              x = 2

              S = { 2 }

c) 2 ( x - 1 ) = 3x + 4

     2x - 2 = 3x + 4

     2x - 3x = 4 + 2

            - x = 6 ( -1)

             x = - 6 

            S = { - 6 }

d) 3 ( x - 1 ) - 7 = 15

    3x - 3 - 7 = 15

     3x = 15 + 3 + 7 

     3x = 25

       x = 25/3

       S = { 25/3

e) 7 ( x - 4 ) = 2x - 3

    7x - 28 = 2x - 3

    7x - 2x = - 3 + 28

           5x = 25

             x = 25/5

             x = 5 

             S = { 5 }

f) 3 ( x - 2 ) = 4 ( 3 - x )

     3x - 6 = 12 - 4x

  3x + 4x = 12 + 6

          7x = 18

            x = 18/7

            S = { 18/7 }

g) 3 ( 3x - 1 ) = 2 ( 3x + 2 )

    9x - 3 = 6x + 4

    9x - 6x = 4 + 3

            3x = 7

             x = 7/3

            S = { 7/3 }

h) 7 ( x - 2 ) = 5 ( x + 3 )

     7x - 14 = 5x + 15

      7x - 5x = 15 + 14

            2x = 29

              x = 29/2

             S = { 29/2 }

i) 3 ( 2x - 1 ) = - 2 ( x + 3 )

    6x - 3 = - 2x - 6

    6x + 2x = - 6 + 3

           8x = - 3

            x = -3/8

           S = { - 3/8 }

j) 5x - 3 ( x + 2 ) = 15 

    5x - 3x - 6 = 15

      5x - 3x = 15 + 6

          2x = 21

           x = 21/2

          S = { 21/2 }