Exercícios resolvido sobre problema de equação do 2º grau

 > Resolva os seguintes problemas:

01) Calcule a soma dos quadrados das raízes da equação x² - 2x + 6  = 0, sem resolvê-la.

02) Calcule o valor de h na equação ( h + 3 )x² - 2(h + 1)x + h - 10 = 0, de modo que a soma dos inverso das raízes seja 1/3.

1/x' + 1/x" = 1/3                                  S = ( 2h + 2 )/( h + 3 )                 P = (h - 10)/ (h + 3)

Resolvendo temos

(3x" + 3x' )/ 3( x' . x" ) = ( x' . x" )/ 3(x' . x" )

3 ( x" + x' )  = x' . x" 

fazendo a substituição temos:

3( 2h + 2)/(h + 3 ) = ( h - 10)/( h +3 )

 (6h + 6)/ (h = 3 ) = ( h - 10)/( h +3 )

  6h + 6 = h - 10

  6h - h = - 10 - 6

   5h = - 16

     h = -16/5

03) Dada a equação x² - 5 + q = 0, determine q, de modo que:

I) uma das raízes seja 3;

x' = 3

x² - 5x + q = 0

3² - 5. 3 + q = 0

9 - 15 + q = 0

     - 6 + q = 0

               q = 6

II) a soma dos inverso das raízes seja 5/4.

1/x' + 1/x"

(4x" + 4 x')/ 4(x'. x") = 5(x'. x")/4(x' . x")

 4(x" + x' ) = 5( x' . x" )                          Fazendo : S = 5     e P = q

 4 . 5 = 5. q

20 = 5q

q = 20/5

q = 4

04) Determine c na equação x² - 10x + c = 0, de modo que uma raiz seja o quadruplo da outra.

x' = 4x"                    S =10                          

4x" - x' = 0                                                      

 x" + x' = 10

5x" = 10     

  x" = 10/5

  x" = 2

substituindo x" = 2 :     

x² - 10x + c = 0

2² - 10.2 + c = 0

4 - 20 + c = 0

- 16 + c = 0

         c = 16

                   

05) Determine k na equação x² - 7x + k = 0, de modo que suas raízes sejam consecutivas.

x" - x' = 1                                x² - 7x + k = 0

x" + x' = 7                               4² - 7. 4 + k = 0

2x" = 8                                   16 - 28 + k = 0

x" = 8/2                                      - 12 + k = 0

x" = 4                                                  k = 12 

06) Determine a, de modo que uma das raízes de ax² - 8x + 3= 0 seja o triplo da outra.

x' = 3x"                                x' + x" = 8/a           > 3x" + x" = 8/a

3/2 = 3x"                             x' . x"  = 3/a                  4x" = 8/a

6x" = 3                                x' = 3/a . a/2                    x" = 8/a . 1/4

x" = 3/6                               x' = 3a/2a                       x" = 8/4a

x" = 1/2                              x' = 3/2                           x" = 2/a

ax² - 8x + 3 = 0

a(3/2)² - 8.3/2 + 3 = 0

9a/4 - 12 + 3 = 0

(9a - 48 + 12)4 = 0

9a - 36 = 0

9a = 36

 a = 36/9

a = 4 

07) Calcule o menor valor de m na equação mx² - ( 3m - 1 )x + m = 0, de modo que a razão entre suas raízes seja 1/4.

x'/x"=1/4                                                   x' . x" = 1

4x' = x"                                                     x'. 2 = 1

4.1/2 = x"                                                 x' = 1/2

4/2 = x"

x" = 2

 Substituindo x" = 2 em 

mx² - ( 3m - 1 ) + m = 0

2²m - (3m - 1).2 + m = 0

4m - 6m + 2 + m = 0

5m - 6m + 2 = 0

- m = -2 (-1)

 m = 2

08) determine m, de modo que uma das raízes da equação ( m - 1 )x² - 8x + 3 seja o inverso da outra.

 x' = 1/x"                      x' + x" = 8/m -1

x' . x" = 1                     x' . x" = 3/ m -1

substituindo em x' . x"  = 1

                         3/m-1 = 1

                        m - 1 = 3 

                       m = 3 = 1

                       m = 4