Exercícios sobre termo geral de uma progressão geométrica P.G. com gabarito.

 01) Determinar o nono termo da P.G. ( 81, 27, 9, ... ).

Resposta: 1/81

02) Determinar o primeiro termo de uma P.G., em que a6 = 96 e q = 2.

Resposta: a1 = 3

03) Qual é a razão de uma P.G., em que a1 = 5 e a4 = 135?

Resposta: q = 3

04) Determinar o número de termos de P.G. ( - 1, - 2, - 4, ..., - 512).

Resposta: n = 10 Portanto, a P.G. possui dez termos.

05) Determine o décimo termo da P.G. ( 1, 2, 4, ... ).

Resposta: 512

06) Determine o oitavo termo da P.G. ( 1, 3, 9, ... ).

Resposta: 3⁷ ou 2187

07) Determine o nono da P.G. (1/16, 1/8, 1/4, ... ).

Resposta: a9 = 16

08) Determine o primeiro termo da P.G., em a7 = 32 e q = 2.

Resposta: a1 = 1/2

09) Determine o primeiro termo de uma P.G., em que a8 = 1  e q = 1/2.

Resposta: a1 = 128

10) Qual a razão de uma P.G. em que a1 = - 3 e a9 = - 768? 

Resposta: q = ± 2

11) Calcule a razão de uma P.G. na qual o primeiro termo é 1/2 e o quarto termo é 4/27. 

Resposta: q = 2/3

12) Qual é o número de termos de uma P.G. cujo primeiro termo é igual a 1/2, a razão é igual a 2 e o último termo é igual a 128?

Resposta: n = 9

13) Qual é a ordem do termo igual 192 na P.G. ( 2, 3, 12, ...)?

Resposta: sétimo termo

14) Qual é a ordem do termo igual a 125 na P.G. ( 1/25, 1/5, 1, ... )? 

Resposta: sexto termo

15)  Sendo 1, x, 9 três termos consecutivos de uma P.G, determine o valor de x.

Resposta: x = ± 3

16) Determine o valor de x de modo que a sequência 6, x, 24 forme, nessa ordem, uma P.G. crescente. 

Resposta: x = 12

17) Para que valor de x a sequência 4x, 2x + 3, x + 5 é uma P.G.?

Resposta: x = 9/8

18) Para que valor de n a sequência n - 1, 2n + 1, 4n é uma P.G.

Resposta: n = - 1/8

19) Quantos termos tem uma P.G. de razão 2, cujo primeiro termo é 6 e o último é 3072?

Resposta: n = 10

Exercícios sobre soma dos termos de uma P.A. progressão aritmética com gabarito.

 01) Calcular a soma dos dez primeiros termos da P.A. ( 4, 7, 10, ...).

Resposta: 175

02) Calcular a soma dos termos da P.A. ( - 16, - 14, - 12, ... , 84).

Resposta: 1734

03) Determine a soma dos dezoito primeiros termos da P.A. ( 1, 4, 7, ... ).

Resposta: 477

04) Determine a soma dos 25 primeiros termos da P.A ( - 7, - 9, - 11, ... ).

Resposta: 775

05) Determine a soma dos trinta primeiros termos da P.A ( - 15, - 11, - 7 , ... ).

Resposta: 1290 

06) Qual é a soma dos cinquenta primeiros numerais ímpares?

Resposta: 2500

07) Qual é a soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 11 e 100? 

Resposta 1665

08) Qual é a soma dos múltiplos de 7 compreendidos entre 20 e 1000?

Resposta: 71050

09) Determine a soma dos números pares positivos, menores que 101. 

Resposta: 2550

10) Determine o primeiro termos e o números de termos de uma P.A. cuja razão é igual a 3, o último termo é 19 e a soma dos termos é igual a 69.

Resposta: a1 = 4 e n= 6

11) Numa P.A de dez termos, o último termo é igual a 22 e a razão é igual a 2 . determine o primeiro termo e a soma.

Resposta: a1 = 4 e  S10  = 130

12)  Determine o primeiro termo e o número de termos de uma P.A. em que: an = 18, r = 2 e Sn = 88

Resposta: se n = 11 a1 = - 2 ; se n = 8  a1 = 4

13) determine a soma de todos os múltiplos de 3 compreendidos entre 1 e 100. 

Resposta; 1683

14) Qual é a soma dos múltiplos de 7 compreendidos entre 5 e 130? 

Resposta: 1197

15) (Gama Filho- RJ) A soma dos seis termos de uma progressão aritmética de razão r é igual a 150. Se o último termos dessa progressão é 45, r vale:

a) 9

b) 8

c) 7

d) 6 

e) 5

Letra: b

16) A soma de dez ternos consecutivos de um P.A. é 200 e o primeiro termo é 2. Calcule os termos P.A.

n = 10 Sn = 200 a_1 = 2 Sn = (a1 +an).n/2 an = a1 + ( n-1).r 200 = (2 + an)10/2 38 = 2 + (10-1)r 200 = (2 + an)5 38 - 2 = 9r 200 = 10 + 5an 36 = 9r 200 - 10 = 5an r = 36/9 190 = 5an r = 4 an=190/5 an= 38 Então a P.A ( 2, 6,10,14,18,22,26,30,34,38 )

Exercícios sobre progressão aritmética P.A. termo geral com gabarito.

EXERCÍCIOS SOBRE PROGRESSÃO ARITMÉTICA

01) Determinar do décimo segundo termo da P.A. ( 3, 5, 7, ... ).

 R: a12 = 25

02) Determinar o primeiro termo de uma P.A. em que o vigésimo termo é igual a 99 e a razão é igual a 5.

R: a1 = 4

04) Calcular a razão de uma P.A., sabendo que o primeiro termo é o triplo da razão e que a23 = 50.

R: r = 2

05) Determine o vigésimo termo da P.A. (1, 8, 15, ... ).

R: a20 = 134

06) Determine o décimo sétimo termo da P.A. ( - 6, - 1, 4, ... ).

R: a17 = 74

07) Qual é o oitavo termo da P.A. ( 1, 3/2, 2, ... ) ?

R:  a8 = 9/2

08) Descubra qual é o primeiro termo de uma P.A. cujo décimo termo é igual a 51 e cuja razão é igual a 5.

R: a1 = 6

09) Qual é o primeiro termo de uma P.A. em que a16 = 53 e r = 4? 

R: a1 = - 7

10) Qual é a razão de uma P.A. em que a26 = 140 e a1 = 18? 

R: r = 122/25

11) Determine o número de termos da P.A. ( - 6, - 9, - 12, ... , - 66 ).

R :  n = 21 

12) Quantos termos possui uma P.A. em que a r = - 11, a1 = 1 e o termo an = 186?

R : n = 18

13) Numa P.A., o primeiro termo é igual à razão e a14 = 84. Calcule a1 e a razão.

R :  a1 = 6: r = 6

14) Determine a razão de uma P.A. que tem 192 como vigésimo termo e 2 como primeiro termo.

R: r = 10

Exercícios resolvidos sobre sistemas de duas equações do 2º grau

 01) (CEFET/AL02) Uma partícula move-se sobre uma reta e sua posição no instante x é dada pela função y = x² - 5x - 38. Em qual dos instantes abaixo, a partícula encontra-se na posição y = 12?

a) x = 6                                            na posição y = 12

b) x = 7                                      y = x² - 5x - 38

c) x = 8                                      12 = x² - 5x - 38

d) x = 9                                      x² - 5x - 38 - 12 = 0

e) x = 10                                     x² - 5x - 50 = 0 

                                                  Δ = b² - 4.a.c

                                                  Δ = (-5)² - 4.1.(-50)

                                                  Δ = 25 + 200

                                                  Δ = 225

                                                x = (- b ± √Δ)/2.a 

                                                x = 5 ± √225)/2.1

                                                x = (5 ± 15)/2

                                               x' = (5 + 15)/2         x" = (5 - 15)/2    

                                                x' = 10                    x" = - 5 Não serve

Portanto letra (e)

02) (CEFET/AL04) Encontre o valor de c de modo que 2, seja solução da equação x² - 3x + c = 0

a) 0                                               fazendo x = 2

b) 10                                              x² - 3x + c = 0 

c) 2                                                2² - 3.2 + c = 0

d) - 4                                             4 - 6 + c = 0

e)  8                                                  - 2 + c = 0

                                                                c = 2

Letra c

03) Multiplicando x por y vamos obter 80 e dividindo x por y , obtemos 5. Nessas condições determine os números x e y.

x . y = 80

x : y = 5        x = 5y         x .y = 80

                                      5y.y = 80

                                      5y² = 80 

                                        y² = 80/5

                                       y² = 16

                                       y = ± √16 

                                       y = 4      ou   y - 4

x = 5y                ou    x = 5y

x = 5 . 4                     x = 5.(-4)

x = 20                       x = - 20

x = 20 e y = 4  ou  x = - 20  e y = - 4

04) No retângulo abaixo, o perímetro é 30cm e a área é 50cm². Determine as medidas x e y indicadas.

2x + 2 + 2y - 4 = 30                  ( x + 1 ) ( y - 2 ) = 50

2x + 2y = 32 : (2)                       xy - 2x + y - 2 = 50

x + y = 16                                   xy + y - 2x = 52

x = 16 - y                                   y( 16 - y) + y  - 2(16 - y ) = 52

x' = 16 - 12                                16y - y² + y - 32 + 2y - 52 = 0

x' = 4                                          - y² + 19y - 84 = 0

x" = 16 - 7                                    Δ = 361 - 336

x" = 9                                            Δ = 25

                                                        y = (- 19 ± 5 )/-2

                                                       y' = 12         e    y" = 7

S = { (4,12); ( 9,7)

Problemas de sistemas de duas equações do 2º grau resolvidos

 01) Construí um retângulo dobrando um arame de 6 metros de comprimento. Esse retângulo ficou com uma área de 2m². Quais são as dimensões do retângulo que formei com esse pedaço de arame?  1 m e 2 m

x + y =3            x = 3 – y         substituindo em    x . y = 2

 Temos:       (3 – y ).y = 2

                       3y – y² = 2

                      - y² + 3y – 2 = 0       a = -1      b = 3        c = -2

                   Δ = b² - 4.a.c

                      Δ = 3² - 4.(-1).(-2)

                      Δ = 9 - 8

                      Δ = 1

                     y = (-3 ± 1)/-2               

                  y' = -2/-2           y" = - 4/-2           quando y =1    x = 3 -y      x = 3 -1     x = 2

                  y' = 1                y" = 2                  quando y = 2   x = 3 -y     x = 3 - 2     x = 1

Logo, temos como solução do sistema os pares ordenados ( 1,2) e ( 2,1). 

Assim, as dimensões do retângulo que construí com o pedaço de arame são 1m e 2m.

02) Determine dois números inteiros e positivos tais que o produto entre eles seja 140, e a diferença entre eles seja 4.    14 e 10

x - y = 4           x = 4 + y         substituindo em    x . y = 140

 Temos:       (4 + y ).y = 140

                       4y + y² = 140

                       y² + 4y – 140 = 0       a = 1      b = 4        c = - 140

                   Δ = b² - 4.a.c

                      Δ = 4² - 4.1.(-140)

                      Δ = 16 + 560

                      Δ = 576

                     y = (-4 ± 24)/2               

                  y' = 20/2           y" = - 28/2           

                  y' = 10                y" = -14  não serve        

      quando y =10    x = 4 + 10      x =  14     

Logo, temos como solução do sistema o par ordenado ( 14,10) 

03) Considere dois números reais positivos x e y. Se você dividir x por y, encontrará 3 como resultado. Sabendo que o quadrado do número y é igual ao número x aumentado de 10 unidades, quais são esses números?   x = 15 e y = 5

x/y =  3         x = 3 y         substituindo em  y² = x + 10

 Temos:       y² = 3y + 10

                      y² - 3y - 10 = 0            a = 1      b = - 3        c = -10

                   Δ = b² - 4.a.c

                      Δ = (-3)² - 4.1.(-10)

                      Δ = 9 + 40

                      Δ = 49

                     y = 3 ± 7)/2               

                  y' = 10/2           y" = - 4/2           

                  y' = 5                y" = - 2  não serve        

      quando y = 5    x = 3y     x =  3.5          x = 15   

Logo, temos como solução do sistema o par ordenado ( 15,5) 

04) A diferença entre dois números inteiros positivos é igual a 3. O quadrado do número maior menos o dobro do número menor é 86. Quais são esses números? 10 e 7

x - y = 3           x = 3 + y         substituindo em    x² - 2y = 86

 Temos:       (3 + y )² - 2y = 86

                     9 + 6y + y² - 2y = 86

                       y² + 4y – 77 = 0       a = 1      b = 4        c = - 77

                   Δ = b² - 4.a.c

                      Δ = 4² - 4.1.(- 77)

                      Δ = 16 + 308

                      Δ = 324

                     y = (- 4 ± 18)/2               

                  y' = 14/2           y" = - 22/2           

                  y' = 7                y" = -11  não serve        

      quando y = 7   x² - 2y = 86      x² - 2.7 = 86    x² - 14 = 86       

                             x² = 86 + 14       x² = 100         x = √100     x = 10

Logo, temos como solução do sistema o par ordenado (10 e 7) 

05) A soma de dois números é 6, e o produto entre eles é igual a -16. Determine quais são esses números:  S= {(−2,8) ;( 8,−2)}

x + y = 6            x = 6 – y         substituindo em    x . y = -16

 Temos:       (6 – y ).y = -16

                       6y – y² = -16

                      - y² + 6y + 16 = 0       a = -1      b = 6        c = 16

                   Δ = b² - 4.a.c

                      Δ = 6² - 4.(-1).16

                      Δ = 36 + 64

                      Δ = 100

                     y = (- 6 ± 10)/-2               

                  y' = 4/- 2           y" = - 16/-2      quando y = - 2    x = 6 - y     x = 6 + 2     x = 8

                  y' = - 2                y" = 8            quando y = 8       x = 6 - y     x = 6 - 8    x = - 2

Logo, temos como solução do sistema os pares ordenados {(−2,8) ;( 8,−2)}